論文開題報告：修正ZK方程的新的孤立波解

修正ZK方程的新的孤立波解

學(xué) 院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院
班 級 08數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)1班
論文寫作時間 2012年3月-2012年4月
論文答辯時間 2012年5月13號

修正ZK方程的新的孤立波解

摘要 在文[15]中,首次積分方法被用來求修正ZK方程的孤立波解,但其找首次積分的過程過于繁瑣,且只得到復(fù)數(shù)形式的解。本文我們利用動力系統(tǒng)方法求修正ZK方程的孤立波解,得到兩個孤立波解的顯式表達(dá)式,豐富了前人的研究工作。

關(guān)鍵詞： 修正ZK方程 動力系統(tǒng)方法 首次積分 孤立波解


New solitary wave solutions of the modified ZK equation

Abstract In [15],the first integral method was used to find solitary wave solutions of the modified ZK equation,but the process is too comple*, and only a plural solution was found. In t
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法[4-6]，擴(kuò)展的tanh方法[7-9]，正弦余弦法[10,11]等。
2002年，F(xiàn)eng[12]第一次利用首次積分法求Burgers-KdV方程的行波解。首次積分法利用多項式的因式分解定理,在求解復(fù)雜微分系統(tǒng)的首次積分中顯示了強(qiáng)大的作用。其后，首次積分法被廣泛使用[13,14]。2009年，Tascan等人[15]利用首次積分法研究如下
修正Zakharov–Kuznetsov方程
, （1.1）
并得到如下復(fù)數(shù)形式的孤立波解
. (1.2)
本文我們利用動力系統(tǒng)方法研究修正ZK方程。注意到修正ZK方程對應(yīng)的行波系統(tǒng)是一Hamilton系統(tǒng),可以直接求出其首次積分,繼而畫出其軌線圖。由于行波系統(tǒng)的同宿軌對應(yīng)相應(yīng)非線性波方程的孤立波,沿著兩條同宿軌線積分,得到兩個孤立波的顯式表達(dá)式。


2．修正ZK方程行波系統(tǒng)的軌線圖
本節(jié)我們利用動力系統(tǒng)方法畫出修正ZK方程行波系統(tǒng)的軌線圖。
令 方程(1.1)化為
（2.1）
對(2.1)積分一次并令積分常數(shù)為零,得
（2.2）
令 , .得
（2.3）
易知系統(tǒng)(2.3)有三個奇點,分別為
, , .
注意到(2.3)是一Hamilton系統(tǒng),直接求出其首次積分如下
（2.4）
其中 為Hamilton量. 令
（2.5）
（2.6）
其雅可比矩陣為
. （2.7）
由 得：
點處的兩個特征值為 故 點為系統(tǒng)(2.3)的鞍點； 、 點處的兩個特征
為 故 、 點均為系統(tǒng)(2.3)的中心。
根據(jù)以上的論述做出系統(tǒng)(2.3)的軌線圖，用matlab作圖，取 ，其圖形如下

圖形最外面一圈為 時的軌線,其為兩條同宿軌,軌線的方向為順時針。由于行波系統(tǒng)的同宿軌實際對應(yīng)非線性波方程的孤立波,下面我們利用圖形直接計算出兩個孤立波的顯式表達(dá)式。


3．修正ZK方程的孤立波解
沿著同宿軌線積分,注意到 。取 為起始時刻,其初始位置為 。
由 得
（3.1）
將(3.1)代入系統(tǒng)(2.3)的第一個式子,得
（3.2）
兩邊同時從 積分到 得
. （3.3）
由(3.3)經(jīng)計算得
,
即 . （3.4）然后令 , ,(3.4)化為
. ……（未完，全文共6468字，當(dāng)前僅顯示2271字，請閱讀下面提示信息。收藏《論文開題報告：修正ZK方程的新的孤立波解》）