論文：模糊不確定性對二叉樹期權定價的影響

論文：模糊不確定性對二叉樹期權定價的影響

摘要：Co*等（1979）首先給出精確二叉樹期權定價模型。但考慮到金融市場的復雜性和人類的模糊性思維習慣，實際的決策問題常常帶有模糊性，因此本文運用模糊集合論討論期權定價，給出期權價格的上限和下限，進而得到模糊期權價格。這樣投資者可以把實際的價格和自己的模糊價格相比較，從而決定是否進入市場或進入多/空頭。
關鍵詞：二叉樹模型；模糊期權定價；模糊集合論
中圖分類號：F830

0 引言
期權作為一種重要的衍生產品一直受到關注。Co*，Ross和Rubinstein（1979）首先給出二叉樹期權定價模型，盡管此模型所涉及的數(shù)學不深，但模型隱含的經濟意義卻十分重要，因而成為衍生產品定價的基本方法之一。
Co*等假設下一期股票價格只存在兩種運動方式：上升到或下降到某一精確點，然后應用無套利定價方法給出期權的價格。但實際中，我們經常聽到的是“股票價格將上升或下降*%左右”，即由于模糊不確定性（或稱為Knight不確定性）的存在，實際的金融市場只被定義為“熊市”或“牛市”，下一期股票的具體價格并沒給定一個精確值。這樣單純的概率論方法無法解決這種類型的不確定性，因此我們應用模糊集合論來解決這種模糊不確定性
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范圍。當模糊不確定性為時，我們有。
結論1。是單調減函數(shù)，是單調增函數(shù)。且，當（即沒有模糊不確定性）時，==。
因此稱和分別為模糊不確定性為的上升下限、上升上限，或悲觀上升率、樂觀上升率。其實區(qū)間[，]就是模糊數(shù)的截集。當投資者的模糊不確定性小于時，對應的上升比例就是這個區(qū)間里的某個值。并且區(qū)間[，]長度隨的減小而縮小，當時，有唯一的上升率，回到經典的定價方法。
對于的模糊程度，也可以給出關于的類似的模糊隸屬度，以及和。為計算簡單，我們采用一般的取值辦法： ，，稱和分別為模糊不確定性為的下降上限、下降下限，或樂觀下降率、觀悲觀下降率。當投資者的模糊不確定性小于時，對應的下降比例就是區(qū)間[，]里的某個值。
結論2。根據我們的取值，有，。

圖1 和的模糊數(shù)
根據無套利定價方法，股票價格上升和下降的權重應該滿足

因此，。
結論3。1），；
2）當時，是的單調減函數(shù)，進而是單調增函數(shù)；當時，是的單調減函數(shù)，進而是單調減函數(shù)。
1.1 三角模糊數(shù)單期二叉樹看漲期權定價模型：
根據無套利定價方法，兩種權重時的單期看漲期權的價格分別為，
，
其中和，。為敲定價格。
取，
結論4。當時，是的單調增函數(shù)，進而是的單調減函數(shù)；是的單調增函數(shù)，進而是單調增函數(shù)。這時，故，。
稱和分別為模糊不確定性為的看漲期權下限、上限。下限、上限構成價格區(qū)間[，]，當模糊不確定性小于時，看漲期權的價格就應該是這個區(qū)間里的某個值。
不同于經典模型的唯一價格，我們得到一個價格區(qū)間。不同投資者可以把實際的價格和自己的模糊價格相比較，從而決定是否進入市場或進入多/空頭。類似于統(tǒng)計學中的區(qū)間估計，我們實際給出了不確定性為的期權價格置信區(qū)間。
結論5。當時，，即模糊不確定性減小時，區(qū)間[，]的長度隨之減小，當時，==。
結論6。以上定價方法形成的期權價格可以表示為模糊集。
證明：當把看成自變量是的映射，則是一個集合套，根據模糊表現(xiàn)定理，就是一個模糊集。
這樣，我們稱由以上定價方法形成的期權價格為模糊期權價格。
1.2 三角模糊數(shù)期二叉樹期權定價模型：
根據無套利定價方法，兩種權重時的期看漲期權的價格分別為，


如果取，，則


（設，顯然 ）
其中


其中，（顯然）。
取，
類似于前面單期時的分析，我們得到一個期權價格區(qū)間[，]。不同投資者可以把實際的價格和自己的模糊價格相比較，從而決定自己的投資策略。
對T期，從數(shù)值分析也有，當時，，即模糊不確定性減小時，區(qū)間[，]的長度隨之減小，當時，==。這樣，由模糊表現(xiàn)定理，這時的也是一個模糊集。因此T期期權價格同樣為模糊期權價格。
2 數(shù)值分析
考慮一支6個月有效期的歐式看漲期權，股票現(xiàn)價為42，期權的執(zhí)行價格為40，無風險利率為每年10%，波動率為每年20%。根據Black-Scholes期權定價公式得到歐式看漲期權的價格為4.76。（[7]中例10.6）
單期：把6個月看成一期，因此，半年的無風險利率為5%。取， 三角模糊數(shù)下單期的和如圖2。


圖2 單期模糊期權價格

圖3 多期模糊期權價格
多期：把每個月看成一期。因此，每月的無風險利率為0.8333%。取，三角模糊數(shù)下多期的和如圖3。
從圖2、圖3我們看到，模糊期權隨代表模糊性的參數(shù)的變化情況。各曲線的上半部分可以作為多頭買價，下半部分為空頭賣價。依據圖形，投資者可以決定買進還是賣出。
3模糊期權的經濟意義分析
金融市場的復雜性和人類思維的模糊性，使得以精確化的方法得到的精確定價模型與實際產生了偏離，導致了各種“迷”的出現(xiàn)。本文運用模糊集合論分析期權的價格。
鑒于人們的模糊思維習慣，投資者對股價上升或下降的比例存在一定的模糊性，就形成了期權價格的上限和下限，根據模糊集合論，我們得到了模糊期權價格。期權價格模糊區(qū)間的上限和下限分別為期權買賣雙方的保留價格，即期權買方愿意買入的最高價格為期權價格上限；而期權賣方愿意賣出的最低價格為期權價格下限。當投資者的預期與市場一致時，他不會進入市場交易，處于觀望期；當投資者的預期大于市場價格時，他認為市場被低估，于是進入交易空方；相反，當投資者的預期低于市場價格時，他認為市場被高估，于是進入交易多方。當多空雙方力量基本一致時，實際價格有 ……（未完，全文共4681字，當前僅顯示2364字，請閱讀下面提示信息。收藏《論文：模糊不確定性對二叉樹期權定價的影響》）