論文：引力模型的數(shù)學(xué)證明

論文：引力模型的數(shù)學(xué)證明

摘要：大多數(shù)國際貿(mào)易理論只能定性解釋貿(mào)易與其他經(jīng)濟變量的關(guān)系。在定量成果研究中，引力模型是一個重要工具。但一般認為引力模型缺乏理論依據(jù)。本文以勞動分工為出發(fā)點，以總產(chǎn)出的”增加值”統(tǒng)計方法為依據(jù)，從數(shù)學(xué)上證明了引力模型的存在。證明過程顯示出引力模型反映的是生產(chǎn)與流通這兩個基本環(huán)節(jié)的數(shù)量關(guān)系，這種關(guān)系在國際貿(mào)易和國內(nèi)貿(mào)易中同樣適用。
關(guān)鍵詞：貿(mào)易，引力模型，數(shù)學(xué)證明，
A Mathematical Derivation Of The Gravity Equation
Abstract: Popular theories concerning international trades can give only qualitative e*planation. In the quantitative research literatures, the gravity equation is an important approach. But the theoretical foundation of the equation is uncertain. Based on a new recognition of labor divi
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Evans 2003, Baltagi and Pfaffermayr 2003, Egger and Pfaffermayr 2003)。不過這些修改后的模型已經(jīng)不再具有引力模型的形式。
一些學(xué)者認為，像比較成本論、資源稟賦論、規(guī)模經(jīng)濟論等應(yīng)該是引力模型的理論基礎(chǔ) (Evenett and Keller 2002, McPherson and Redfearn 2001, Tiiu Paas and Egle Tafenau 2005)。但他們從這些理論并不能定量得到一個確定的引力模型 (Tiiu Paas and Egle Tafenau 2005)。換言之，引力模型的理論基礎(chǔ)問題并沒有真正解決。
本文以勞動分工為出發(fā)點，以總產(chǎn)出的增加值計算規(guī)則為依據(jù)，發(fā)現(xiàn)產(chǎn)量與流通量之間存在確定的數(shù)量關(guān)系。一個區(qū)域的產(chǎn)量通常以國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）表示，該區(qū)域與其他區(qū)域之間的流通量通常以貿(mào)易額表示。從事經(jīng)濟活動的勞動者具有一定的空間分布，流通是勞動者分工合作以及實現(xiàn)生產(chǎn)和消費的必要過程。以商品的移動成本表示勞動者之間的距離，并運用一定的假設(shè)將問題簡化后可以證明，任何兩個經(jīng)濟之間的流通量與二者之間的經(jīng)濟距離的平方成反比，與二者的經(jīng)濟總量的乘積成正比。也就是說，用引力模型來表達生產(chǎn)量與流通量的一般關(guān)系，有著確切的理論依據(jù)。
本文不僅從理論上確定了生產(chǎn)與流通的數(shù)量關(guān)系，使引力模型中變量的實際意義更為明確，更重要的是，本文所展示的分析方法對于相關(guān)理論研究很有啟示意義。
2. 貿(mào)易――價值實現(xiàn)的必要環(huán)節(jié)
現(xiàn)代社會生產(chǎn)的一個重要特征是勞動分工。任何一個經(jīng)濟的產(chǎn)出都是由大量的勞動者通過分工協(xié)作完成的。
假設(shè)一個經(jīng)濟中含有N個勞動者，每個勞動者的產(chǎn)出量為q ，則該經(jīng)濟的總產(chǎn)出為：
Q = Nq (2)
現(xiàn)實當中，每個勞動者的產(chǎn)出量一般并不相同，這里我們采用平均產(chǎn)出，即q可以視為是一個“代表性”勞動者的產(chǎn)出。
注意到所有的勞動者不可能在同一地點從事生產(chǎn)和消費活動，每個勞動者處在不同的地理位置。因此，流通實際上就是把需要交換的產(chǎn)品移動到需要它的地方并完成交換的整個貿(mào)易過程。因此，流通是實現(xiàn)市場交換的必要條件。通常我們把企業(yè)之間或者企業(yè)與消費者之間的交易視為“流通”，是因為這些活動的交易額便于分別計算；我們不把企業(yè)內(nèi)部的物品從一個車間移動到另一個車間視為“流通”，是因為這些活動不便于分別計算，并且通常都計算到生產(chǎn)成本中去了。
根據(jù)國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）的統(tǒng)計規(guī)則，不參與市場交易的產(chǎn)品或勞動是不被計入GDP的。也就是說，如果沒有流通，就沒有市場交換，也就沒有GDP。比如說，盡管人人都在勞動，并且有產(chǎn)品生產(chǎn)出來，但如果沒有流通和交換，每個勞動者的產(chǎn)品都在原地不動，按照GDP的統(tǒng)計規(guī)則，經(jīng)濟系統(tǒng)的總產(chǎn)出為零。
現(xiàn)在我們根據(jù)GDP的“增加值”統(tǒng)計方法來考察流通與產(chǎn)出的數(shù)量關(guān)系。
在（2）式所給出的生產(chǎn)情況下，當沒有貿(mào)易發(fā)生時，經(jīng)濟系統(tǒng)的產(chǎn)出額為0。
當有一定數(shù)量的產(chǎn)品 為了交換而從勞動者B 移動至勞動者A時，假設(shè)運送費率為f，則我們可觀察到一個產(chǎn)出增加值：
（3）
不論是誰完成了產(chǎn)品的運送，這個貢獻值必是勞動者A的產(chǎn)出q 中的一部分。
比如， 當運送是由A完成的，則f就是A對產(chǎn)出增加值的貢獻；當運送是由他人完成的，則A必須從自己的勞動產(chǎn)品增加值中支付相等的數(shù)量，否則就不能實現(xiàn)等價交換。
此外，我們不必追究所運送商品的全部價值，因為GDP的統(tǒng)計只需觀察經(jīng)濟活動對產(chǎn)出貢獻的增加值。
3. 平方反比律
現(xiàn)在來考察距離為r的兩個勞動者A與B之間的貿(mào)易。.
讓我們畫一個半徑為r的圓環(huán)，如圖1所示， 勞動者A位于圓心，勞動者B位于環(huán)上。
每個所考察的勞動者和“代表性”的勞動者完全一樣。即他們的產(chǎn)出相同，產(chǎn)品也相同，誰都不比他人更具有特權(quán)。
由于圓環(huán)上所有勞動者（包括B）與A的距離都相同，所以他們與A的貿(mào)易額也應(yīng)該都相同，記為。
假設(shè)勞動者是均勻連續(xù)分布的，注意到環(huán)上每個勞動者所占的面積為，則他們與A之間的貿(mào)易額之和為
（4）
令環(huán)的寬度為一個勞動者所占的寬度，即 ……（未完，全文共6857字，當前僅顯示2408字，請閱讀下面提示信息。收藏《論文：引力模型的數(shù)學(xué)證明》）